Добавлю, что не так уж сложно представить размерность, не равную целому числу, так называемую фрактальную размерность. Например, размерность фрактала "снежинка Коха" равна примерно 1.26, то есть, это уже не линия (одномерная поверхность), но ещё и не плоскость (двумерная). Снежинка Коха представляет собой линию бесконечной длины, ограничивающую конечную площадь.
Вообще, фракталы - изумительные объекты.